Информатика Компьютерные сети

Физические основы механики Примеры решения задач

• Логарифмический декремент колебаний

 

где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

 , или

  ,

где  — внешняя периодическая  сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F0 — ее амплитудное значение;

• Амплитуда вынужденных колебаний

• Резонансная частота и резонансная амплитуда  и Величины экстремальных касательных напряжений Сопротивление материалов

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания  по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x(0)=  см и х,(0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t=0.

Решение.  Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t=0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась  просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x(0) и А: φ= = . Значению  аргумента  удовлетворяют два значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет- воряет еще и условию  , найдем сначала :

Подставив в это выражение значение t=0 и поочередно значения начальных фаз   и , найдем

Так как всегда A>0 и ω>0, то условию удовлетворяет толь ко первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза

По найденному значению φ построим векторную диаграмму (рис. 6.1).

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А2, второе на A2 ω 2 и сложим:   , или  

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим   см/с.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m3=400 г укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

  Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

  (1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; т — его масса; lС — расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J1 и J2 и стержня J3:

 (2)

Принимая  шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J3= = . Подставив полученные выражения J1 , J2 и J3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи- зического маятника:

 

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l= 1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром  и массой т1. Горизонтальная ось Oz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле   (1)

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями ; х2= =, где А1=1 см, A2=2 см,  с,  с, ω = =. 1. Определить начальные фазы φ1 и φ 2 составляющих колебаний.

2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид   (1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:  (2)

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых  (1).   (2)

где a1=1 см, A2=2 см, . Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь>зуемся формулой  .

Задачи


На главную