Математика курс лекций, Методы интегрирования

Исследование трёхфазных цепей http://pclas.ru/ Методом Эйлера http://precision-devices.ru/

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Пример . Найти . Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, согласно СР: (2.2), получим .

Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл. Пример. Найти . ьПроизведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на .

Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей, не находя коэффициентов разложения

Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших дробей

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.

Интегрирование дифференциального бинома. Выражение вида , где  – рациональные числа, а  – действительные числа, называется дифференциальным биномом.

Использование понятия неопределенного интеграла в экономике Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла. Пример. Определить функциональное соотношение между количеством выпускаемой продукции и общими производственными затратами, а также средние затраты, если  а фиксированные затраты составляют 5000 у.е.

Понятие корня Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными. Корнем n-й степени из числа a называется такое число b, n-я степень которого равна a (n ≥ 2). Обозначается , где a - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (n ≥ 2; n ϵ N).

Комплексные числа Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом

Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин. Площадь многоугольника

Кривые второго порядка: гипербола, парабола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, является точка O - полюс и ось OP, которая называется полярной осью.

Основные задачи на прямую в пространстве Прямая линия в пространстве. Основные формулы: Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид (1) ьгде x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

Метод подведения под знак дифференциала Пусть требуется вычислить Предположим, что существуют дифференцируемые функции и , такие, что тогда Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Метод интегрирования по частям

Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит множители вида Пример Вычислить интеграл

Задача . Изменить порядок интегрирования.

Полярная система координат:

Задача. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.ь

Задача. Исследовать ряд на сходимость.

Задача. Найти сумму ряда.

Найти решение задачи Коши.

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Найти неопределенные интегралы.  

Задача. Вычислить определенные интегралы

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Вычислить пределы функций.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Геометрические и физические приложения Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру Г, состоящему из частей линий   (направление обхода положительно).

Непосредственное интегрирование. Пример Найти . В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например: Пример. Вычислить определенный интеграл 

Решение: Определенный интеграл от любой непрерывный функции f(x) вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница где F(x) – первообразная для f(x).

Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона. Рассмотрим пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, положив n=4. ьФормула Симпсона приближенного интегрирования позволяет численно определить значение интеграла без нахождения первообразной. Для этого достаточно вычислить значение функции в n=4 точках, полученных в результате разбиения отрезка   на n отрезков (n – четное число)   шаг разбиения   значение подынтегральной функции на концах отрезков.

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных. вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.

Вычислить двойной интеграл. По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.ь Решение: Изобразим область D. Кривые, задающие область D представляют собой параболы. Составив из их уравнений систему и решив её, найдём точки их пересечения.

Пример.  Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y.

На главную