Геометрические построения в системе КОМПАС 3D V8 Методические указания к выполнению эскизов рабочих чертежей

Математика курс лекций, примеры решения задач

ЗАДАНИЕ 10. Найти массу тела , ограниченного поверхностями: ; ; ; ; плотность массы тела .

РЕШЕНИЕ.

 Область  ограничена с боков координатными плоскостями   и цилиндрической поверхностью . Снизу она “накрыта” плоскостью , сверху  поверхностью параболоида   (рис.79).

 

Рис.79

 Область  является -цилиндрическим брусом. Масса тела может быть вычислена по формуле:

.

Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

=

=[ замена переменных  ]=

Замечание. В цилиндрической системе координат вычисления упрощаются:

.

Ответ. Масса заданного тела равна 1.

Примеры представляют собой силовое поле,поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезкаопределяется аналогично и для . Напоминаем: величинаотрезка представляет собой его длину со знаком "+", если векторы и одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу: , где - градиент скалярного поля в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к. - единичный вектор.

Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.

Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.

  1. (

- дифференцируемая функция)


На главную