Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

непрерывны, то они совпадают, так как соответствующие списки номеров переменных равны, соответственно, $ \{5;2;5;1;2\}$ и $ \{1;2;2;5;5\}$ и отличаются лишь порядком перечисления номеров. Значит, частные производные отличаются лишь порядком дифференцирований, и поэтому

 

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}=
\frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$

В этом примере перестановки дифференцирований можно выполнить в следующем порядке:

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}=
 \frac{...
..._5\pat x_1\pat x_2}=
 \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2}=$   
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_1\pat x_5\pat x_5\pat x_2}=
 \frac...
..._5\pat x_5\pat x_2}=
 \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_5\pat x_2\pat x_5}=$   
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_2\pat x_5\pat x_5}=
 \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$   

При первой и четвёртой перестановках переставляемые диффиеренцирования -- внешние и выполняются непосредственным применением теоремы к функциям $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1\pat x_2}}(x)$ и $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_5\pat x_2}}(x)$ соответственно; эти производные третьего порядка предполагаются непрерывными. При остальных перестановках переставляются внутренние дифференцирования. При этом, например, при второй перестановке, рассуждаем так: имеем равенство

 

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_5\pat x_1\pat x_2}=
\frac{...
...c{\pat^2}{\pat x_5\pat x_1}\bigl(\frac{\partial f}{\partial x_2}\bigr)\Bigr).
$

Функции $ \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ и $ \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ непрерывны по предположению, так как содержат меньше дифференцирований по $ x_2$ и $ x_5$ , чем исходные производные пятого порядка, и столько же дифференцирований по остальным переменным. Поэтому

 

$\displaystyle \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\dis...
...e{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr),$

и мы можем продолжить равенство:

 

$\displaystyle \frac{\pat^2}{\pat x_2\pat x_5}\Bigl(
\frac{\pat^2}{\pat x_5\pat...
... x_2}\bigr)\Bigr)=
\frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2},
$

и вторая перестановка обоснована
На главную