Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

   Пример   Пусть дана та же зависимость между $ y$ и $ x$, что в предыдущем примере:
$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$
Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$. Ранее мы получили, что $ y'_x=z(t)=\dfrac{1}{2t}$. Поэтому $ z'_t=-\dfrac{1}{2t^2}$; производную $ x'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}$ мы нашли выше. Получаем:
$\displaystyle y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}
=\dfrac{-\dfrac{1}{2t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}
=-\dfrac{1+t^2}{4t^3}.$
    

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить $ z=\dfrac{y'_t}{x'_t}$ в формулу $ y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}$; при этом получим: Определённый интеграл. Введение понятия определённого интеграла.

$\displaystyle y''_{xx}=\dfrac{\Bigl(\dfrac{y'_t}{x'_t}\Bigr)'_t}{x'_t}=
 \dfrac{y''_{tt}x'_t-x''_{tt}y'_t}{(x'_t)^3}.$(4.17)

На главную