Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

    Пример 4.21   Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$. Тогда
$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$
Поскольку четвёртая производная $ y^{(4)}$ совпала с исходной функцией $ y$, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $ k=0;1;2;\dots$ получаем
$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x;
y^{(4k+1)}(x)=\cos x;
y^{(4k+2)}(x)=-\sin x;
y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$
Заметим также, что
$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$ Пример. Методом прогонки найти решение уравнения    
 

Легко видеть, что имеет место общая формула:
$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$
На главную