Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

   Пример 4.18   Найдём производную функции
$\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$
При $ x=0$ функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}f(x)=
\lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2},$
а
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0-}f(x)=
\lim\limits_{x\to0-}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}.$

Рис.4.9.График функции $ f(x)$


Курс лекций по математике Потенциальное течение жидкости или газа. Решение дифференциальных уравнений

Теперь вычислим производную при $ x\ne0$: применяя формулу производной сложной функции, получаем
$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x})'=\dfrac{1}{1+\df...
...frac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=
-\dfrac{1}{1+x^2}.$

Рис.4.10.График производной $ f'(x)$

Заметим, что если бы не разрыв при $ x=0$, эта производная совпала бы с производной функции $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $. Это неспроста: дело в том, что если мы положим
$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac...
...mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x>0,
\end{array}\right.
$
то $ g(x)$ будет совпадать с $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ при всех $ x\ne0$. В то же время $ g(x)$ отличается на постоянное слагаемое от $ f(x)$ при $ x<0$, и поэтому производные у $ f(x)$ и у $ g(x)$ одинаковые.     
        Упражнение 4.3   Найдите производную функции
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$
Отдельно вычислите производную при $ {x\ne0}$ (как производную произведения) и производные слева и справа при $ {x=0}$ (пользуясь определением производной, как
$\displaystyle \lim\limits_{h\to0\pm}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=
\lim\limits_{h\to0\pm}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{h}.)$
На главную