Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

    Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$. Имеем:
$\displaystyle (\mathop{\rm cth}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm ch}\nolimits x...
... ^2x}=-\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2x.$
    
         
        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции $ y=x^{{\alpha}}$ при произвольном вещественном $ {\alpha}$. Некоторые частные случаи (при $ {\alpha}=n\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}=\frac{1}{2}$) были нами разобраны выше.
Итак, пусть $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$, $ x\in(0;+\infty)$. Запишем функцию в виде $ f(x)=e^{{\alpha}\ln x}$ и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом $ u={\alpha}\ln x$. Получаем тогда
$\displaystyle (x^{{\alpha}})'=(e^{{\alpha}\ln x})'=
e^{{\alpha}\ln x}({\alpha}...
...\ln x}\dfrac{1}{x}={\alpha}x^{\\ al}\cdot\dfrac{1}{x}=
{\alpha}x^{{\alpha}-1}.$
    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей типа


На главную