Пример   Вычислим несколько сумм:
1) $ \displaystyle\sum_{i=1}^5 \frac 1i=\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+
\frac15=\frac{137}{60}$ .
2) $ \displaystyle\sum_{i=2}^k m^i=m^2+m^3+m^4+\ldots+m^k$ . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным $ m^2$ и знаменателем прогрессии равным $ m$ , то эту сумму легко найти
$\displaystyle \sum\limits_{i=2}^k m^i=\frac{m^2(1-m^{k-1})}{1-m}.$
3) $ \displaystyle\sum\limits_{s=0}^4 2^{s^2}=2^0+2^1+2^4+2^9+2^{16}=66067$ .
4) $ \displaystyle\sum\limits_{j=1}^5(-1)^{j+1}\sqrt{2j+0.5}=\sqrt{2.5}-\sqrt{4.5}+
\sqrt{6.5}-\sqrt{8.5}+\sqrt{10.5}\approx 2.334223$ .

5) $ \displaystyle\sum\limits_{q=1}^n 1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_n=n$ .        

Дифференциал функции Пример.  Найти . 

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида $ \displaystyle \sum_{i=1}^na_i$ . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

$\displaystyle \sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\ldots+a_n.$
С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:
$\displaystyle {\bf a}{\bf b}=\sum_{i=1}^k {\alpha}_i{\beta}_i,$(14.2)

где для трехмерного пространства $ k=3$ , для плоскости $ k=2$ .

Для единообразия будем считать, что

$\displaystyle \sum_{i=1}^1 a_i=a_1,$
и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

На главную