Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая


Пример 5.5   Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$. Предел их отношения, очевидно, существует:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}=
\lim_{x\to\infty}(1+\dfrac{1}{x}\cdot\sin x)=1+0=1;$
в то же время отношение производных даёт
$\displaystyle \dfrac{(x+\sin x)'}{x'}=\dfrac{1+\cos x}{1}=1+\cos x,$
а эта функция не имеет никакого предела при $ x\to\infty$. Следовательно, для вычисления предела
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}$
правило Лопиталя неприменимо.     

Несмотря на свою неуниверсальность, правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее (например, с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые).

Пример 2. Найти f’y(-3; -2) функции предыдущего примера.

Решение. Фиксируя х, получим

Таким образом, приходим к следующему правилу вычисления частных производных.

Чтобы вычислить частную производную от функции z=zf(х;y) по одному из ее аргументов, нужно вычислить производную от функции f по этому аргументу, считая другой аргумент постоянным.

Заметим, что если частные производные функции z=f(x;y) существуют в точке (х0;y0), то они представляют собой вполне определенные конечные числа, которые мы обозначили f’x(x0;y0) и f’y(x0;y0). Но может оказаться, что функция f, определенная в области D, имеет в каждой точке этой области частные производные. Тогда f’x и f’y есть функции, определенные в области D. В этом случае функции f’x(x;y) и f’y(x;y), определенные в области D, называют частными производными функциями.


На главную