Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

        Пример  Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:
$\displaystyle e^{xy}(xy)'_x+(x\cos y)'_x=e^{xy}(y+xy'_x)+\cos y-x\sin y\cdot y'_x=0.$
Слагаемые, содержащие $ y'_x$, оставим в левой части, а остальные перенесём направо:
$\displaystyle y'_x(xe^{xy}-x\sin y)=-ye^{xy}-\cos y,$
откуда

$\displaystyle y'_x=-\dfrac{ye^{xy}+\cos y}{x(e^{xy}-\sin y)}.$

Получили выражение для производной $ y'_x$, содержащее, правда, не только $ x$, но и $ y$ в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением $ e^{xy}+x\cos y=0$, уравнения касательной и нормали, проведённых в точке $ (-1;0)$. Действительно, при $ x=-1, y=0$ мы получаем $ y'_x=-\dfrac{1}{-1}=1$, так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной: $ k=1$. Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:
$\displaystyle y=0+1\cdot(x-(-1)),$ или $\displaystyle y=x+1,$
а уравнение нормали -- таково:
$\displaystyle y=0-\dfrac{1}{1}\cdot(x-(-1)),$ или $\displaystyle y=-x-1.$
На главную