[an error occurred while processing this directive]

Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пример Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x .
Решение.

Рассмотрим ряд
     
который сходится при всех x.

Дифференцируя его почленно, получаем
     
Следовательно, функция f (x) удовлетворяет дифференциальному уравнению f ' = f . Общее решение этого уравнения имеет вид   f (x) = ce x , где c − константа. Подставляя начальное значение   f (0) = 1 , находим, что c = 1 . Таким образом, полученное следующее разложение функции e x в степенной ряд:
     

Пример Разложить в степенной ряд гиперболический синус sh x . Теоремы о производных. Теорема Ролля.ь Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f¢(e) = 0.


Решение.
Поскольку sh x = (e x + e−x )/2 , то воспользуемся разложениями в степенной ряд функций e x и e−x . В предыдущем примере была получена формула
     
Подставляя −x вместо x, находим, что
     
Тогда гиперболический синус раскладывается в ряд следующим образом:      

Примеры:

1) ;

;

.

2) ; ; .

Для функции одной переменной производная n–го порядка определялась следующим образом: . Аналогично определяются и частные производные высших порядков.


[an error occurred while processing this directive]