[an error occurred while processing this directive]

Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

 Пример Показать, что

     
Решение.
Рассмотрим сначала следующий степенной ряд:
     
Данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем x. Поэтому, он сходится при |x| < 1 . Его сумма равна . Подставляя − x вместо x, получаем
     
Таким образом,
     

Пример Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби . Геометрические приложения определенного интеграла

Решение.
Запишем функцию в виде
     
Видно, что данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем :
     
Полученный степенной ряд сходится при |x| < 2 .

Пример. Исследуем с помощью интегрального признака обобщенный гармонический ряд .

. При имеем

.

При k=1 имеем

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k£1.


[an error occurred while processing this directive]