[an error occurred while processing this directive]

Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0 :

Функция является непрерывной функцией при |x| < R . Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой
Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R , то выполняется равенство
Если ряд интегрируется на отрезке [0; x] , то справедлива формула: Замена переменной в определенном интеграле

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

В формуле (1) сделаем замену переменной: , получим при

Переобозначим на , получим нужное разложение:

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим первую производную: . Из уравнений y’=0 и y’=Ґ получаем точки, “подозрительные” на экстремум: . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака y’

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной y’ в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке х=-3: y(-3)=27/4. Точки х=-1 и х=0 не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.


[an error occurred while processing this directive]