[an error occurred while processing this directive]

Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Пример Исследовать процесс почленного дифференцирования ряда Фурье функции , заданной на интервале [−π, π] .


Решение.
Запишем разложение в ряд Фурье для линейной функции:
     
В результате формального дифференцирования находим
     

Как видно, получено противоречие, поскольку ряд Фурье для единицы должен состоять лишь из одного постоянного слагаемого.

Чтобы объяснить этот парадокс, введем дельта-функцию Дирака δ(x) . Так называемое "слабое" определение δ(x) подразумевает, что

     
при условии равенства единице полной площади под графиком функции:
     
Дельта-функцию можно также определить через предел при n → ∞ следующим образом:
     
Графики дельта-функции при n = 5 и n = 50 показаны на рисунке 2.
Рис.2, n = 5, n = 20
Рис.3
Ряд Фурье для дельта-функции выражается формулой
     
Он содержит только косинусы, поскольку дельта-функция является четной.

Рассмотрим теперь периодическое продолжение f1(x) исходной функции f (x) (рисунок 3). Эта функция имеет разрывы второго рода в точках . Соответствующая производная содержит дельта-функцию в каждой точке разрыва, так что справедливо соотношение
     
где обозначает 2π-периодическое продолжение дельта-функции.

Отсюда видно, что
     
Следовательно, разложение производной в ряд имеет вид
     
Таким образом, функция представляет собой ряд Фурье для числа 1. График этой функции приведен ниже на рисунке 4.
Рис.4, n = 100

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Даламбера

.

следовательно, ряд сходится.


[an error occurred while processing this directive]