Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Производные и дифференциалы высших порядков

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Пусть задана сложная функция y=F(t)=f(g(t)), y=f(x), x=g(t).

dy=(f(g(t))¢ dt=f¢(x)g¢(t)dt=f¢(x)dg=f¢(x)dx. Вид первого дифференциала такой же, как и в случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.

Для дифференциалов высших порядков свойства инвариантности, вообще говоря, нет.

dy=f¢dx, d 2y=f¢¢dx2+f¢d 2x, для функции x=t2, второй дифференциал d 2x ¹ 0. Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции

Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов ). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.

d ny, y=f(x), x=at+b, dx = a dt, d 2x=…=d nx=0. Таким образом, n-ый дифференциал

d nf=f(n)dxn имеет такой же вид, как и в случае независимого переменного x.


На главную