Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Производные и дифференциалы высших порядков

Вычисление производных функций, заданных неявно

Обозначим через F(x,y) некоторое выражение, содержащее параметры x, y. Функцией, заданной неявно уравнением

F(x,y)=0  (1)

называется любая функция y=f(x) с областью определения X , при подстановке которой в левую часть (1) это равенство превращается в тождество:

"xÎX:F(x, f(x))=0.

Такие функции называется также однозначными ветвями.

Для вычисления производной y¢(x) функции, заданной неявно уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида

A(x,y)+B(x,y)y¢=0 , (2)

где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y . Из соотношения (2) можно найти выражение для y¢ в нужной точке.

Пример 1: x2+y2=1, найти .

2x+2yy¢=0, y¢=. Для нахождения второй производной следует использовать равенство x+yy¢=0, дифференцируя, получим

1+(y¢)2+yy¢¢=0, y¢¢=


На главную