Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков

Определение. Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x0Î(a,b) производную g(x)=f¢(x). Если в точке x0 существует g¢( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f¢¢(x0). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

.

Обозначение Лейбница .

Отметим, что для существования n-ой производной в точке, предыдущая (n-1)-я производная должна существовать в некоторой окрестности.

Аналогично определяются односторонние производные старших порядков.

Функция f называется n-раз дифференцируемой на X, если в каждой точке X существует n-ая производная.

f называется n-раз непрерывно дифференцируемой на X, если n-ая производная на X существует и непрерывна на X.

Классы C(X), C[a,b], Cn(X), Cn[a,b].

Cn(X) – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на X функций.

Cn[a,b] – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций. C(X)-множество всех непрерывных на X функций.

C[a,b]-множество всех непрерывных на [a,b] функций.

Пример. Вычисление второй производной функции, заданной параметрически

, x(t) строго монотонна

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Пример. Вычислить  для функции


На главную