Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Дифференциальное исчисление

Функции заданные параметрически

Геометрическое место точек на плоскости

будем называть графиком функции, заданной параметрически. Говорят также о параметрическом задании функции.

Замечание 1. Если x, y непрерывны на [a,b] и x(t) строго монотонна на отрезке [a,b] (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b] , a=x(a), b=x(b) определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

.

Если область определения [a,b] параметрически заданной функции можно разбить на конечное число отрезков [ak ,bk ], k=1,2,…,n, на каждом из которых функция x(t) строго монотонна, то параметрически заданная функция распадается на конечное число обычных функций fk(x)=y(t -1(x)) с областями определения [x(ak ), x(bk )] для участков возрастания x(t) и с областями определения [x(bk ), x(ak )] для участков убывания функции x(t). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями параметрически заданной функции.

 

 

На рисунке показан график параметрически заданной функции


При выбранной параметризации область определения [0,2
p] разбивается на пять участков строгой монотонности функции sin(2t), именно: tÎ [0,p/4], tÎ[p/4,3p/4], tÎ[3p/4,5p/4], tÎ[5p/4,7p/4] , tÎ[7p/4,2p] и, соответственно, график распадется на пять однозначных ветвей, соответствующих этим участкам

 

Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек

.

  В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут соответствовать участкам строгой монотонности tÎ[-p/4,p/4], tÎ[p/4,3p/4], tÎ[3p/4,5p/4], tÎ[5p/4,7p/4] функции sin(2t).

 

Четыре участка монотонности функции sin(2t)

 

Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций. Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую отрезку tÎ[-p/4,p/4]. На концах этого участка функция x=sin(2t) принимает значения -1 и 1 , поэтому эта ветвь будет определена на [-1,1] . После этого нужно смотреть на участки монотонности второй функции y=cos(t), у нее на

[-p/4,p/4] два участка монотонности [-p/4,0], [0,p/4]. Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью получим участки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)

  Первая однозначная ветвь f1(x)=y(t(x)) , соответствующая участку [-p/4,p/4] будет определена для xÎ[-1,1].

 

Первая однозначная ветвь

tÎ

xÎ[-1,1]

 

 

Все остальные три ветви будут иметь областью определения тоже множество [-1,1].

Вторая ветвь

tÎ

xÎ[-1,1]

 

 

Третья ветвь

tÎ

xÎ[-1,1]

 

Четвертая ветвь

 

tÎ

xÎ[-1,1]

 

 

 

Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x(t), y(t) , так и области определения [a,b] этих функций.

Пример различных параметрических заданий одной и той же функции

и  tÎ[-1, 1].

Замечание 3. Если x,y непрерывны на [a,b] , x(t) строго монотонна на отрезке [a,b] и существуют производные y¢(t0), x¢(t0)¹0, то существует f¢(x0)=. Действительно, .

Последнее утверждение распространяется и на однозначные ветви параметрически заданной функции.


На главную