Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая


   Пример   Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$. Первая производная равна
$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$
далее находим
$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$
    
        Пример 4.20   Пусть $ y=f(x)=e^{kx}$. Тогда
$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx};
y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$
При $ k=1$ все производные оказываются равными исходной функции: $ (e^x)^{(n)}=e^x.$     
        Пример 4.21   Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$. Тогда
$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$
Поскольку четвёртая производная $ y^{(4)}$ совпала с исходной функцией $ y$, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $ k=0;1;2;\dots$ получаем
$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x;
y^{(4k+1)}(x)=\cos x;
y^{(4k+2)}(x)=-\sin x;
y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$
Заметим также, что
$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$   
 

Легко видеть, что имеет место общая формула:
$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$
    
        Упражнение 4.4   Рассмотрите функцию $ y=\cos x$ и получите для её производных аналогичные формулы.     
        Упражнение 4.5   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от гиперболических функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$.     
        Упражнение 4.6   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от функции $ y=\ln x$. Придумайте формулу, позволяющую кратко записать выражение для $ y^{(n)}$; эта формула будет содержать знак факториала ( $ n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$).     
        Упражнение 4.7   Докажите, что вторая производная чётной функции является чётной функцией, а вторая производная нечётной функции -- нечётной функцией.    

На главную