Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Дифференциальное исчисление

  Производная Определение производной

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Терминология

Dx=x - x0 – приращение аргумента.

Dy=D f =f(x) - f(x0) – приращение функции. Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных в тройном интеграле

Определение. Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f¢(x0)= =.

Обозначения для производной

Лейбниц, f¢(x0) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x0) Коши.

Аналогично определяются односторонние производные f¢(x0+0), f¢(x0-0).

f¢(x0+0)= , f¢(x0 - 0)=.

 

Теорема. Для существования f¢(x0) н. и д. существования обеих односторонних производных f¢(x0+0), f¢(x0 - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы для односторонних пределов.

Если  f¢ существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f¢ (x).

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x0 называется дифференцируемой в точке x0, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

Df = f(x) - f(x0) = A(x - x0)+o (x – x0), x®x0

Теорема. Для существования f¢ (x0) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x0.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

$ A Û .

Замечание. Отметим, что A= f¢ (x0).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.


На главную