Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая


Пусть $ f(x)=\cos x$. Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\cos(x+h)-\cos x=
-2\sin\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}=
-2\sin(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$
а производная --
$\displaystyle (\cos x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
-\lim_{h\to0}\sin(x+...
...{2})
\lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=
-\sin x\cdot1=-\sin x.$
При этом мы воспользовались непрерывностью синуса, откуда $ \lim\limits_{h\to0}\sin(x+\frac{h}{2})=\sin x,$ и первым замечательным пределом.

7. Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$ и применим для нахождения производной формулу (4.10). Получаем:

$\displaystyle (\mathop{\rm tg}\nolimits x)'=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)...
...{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=
\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x.$

8. Аналогично, для функции $ f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ получаем

$\displaystyle (\mathop{\rm ctg}\nolimits x)'{=}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\rig...
...in^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=
-\dfrac{1}{\sin^2x}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2x.$

9. Пусть $ f(x)=\log_ax$ ( $ a>0, a\ne1, x>0$). Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\log_a(x+h)-\log_ax=\log_a\dfrac{x+h}{x}=
\log_a(1+\frac{h}{x}),$
а разностное отношение --
$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{h}=\frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})=
\frac{1}{...
...c{x}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})=
\frac{1}{x}\log_a(1+\frac{h}{x})^{\dfrac{x}{h}}.$
Теперь вычислим производную:
\begin{multline*}
f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
\lim_{h\to0}\frac{1}...
...{1}{x}\log_ae=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}.
\end{multline*}
При вычислении предела мы, во-первых, воспользовались непрерывностью логарифмической функции и переставили знаки предела и логарифма; во-вторых, сделали замену $ {\alpha}=\dfrac{h}{x}$, при этом $ {\alpha}\to0$ при $ h\to0$; в-третьих, был использован второй замечательный предел: $ \lim\limits_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e$.

Из полученной формулы

$\displaystyle (\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$
при $ a=e$ вытекает, что
$\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.$

На главную