Примеры решения задач контрольной работы по математике Курсовая

Выше мы уже рассмотрели линейную функцию $ f(x)=kx+b$ и показали, что её производная равна угловому коэффициенту $ k$
$\displaystyle (kx+b)'=k.$

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$. Дадим аргументу $ x$ приращение $ h$ и найдём приращение функции: $ {\Delta}f=(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$. Поэтому

$\displaystyle (x^2)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.$
(Можно доказать эту формулу и так:
$\displaystyle (x^2)'=(x\cdot x)'=x'x+x'x=1\cdot x+1\cdot x=2x.$
Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции $ f(x)=x^3$ получаем: $ {\Delta}f=(x+h)^3-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3$, откуда
$\displaystyle (x^3)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2.$
(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:
$\displaystyle (x^3)'=(x^2\cdot x)'=(x^2)'x+x'x^2=2x\cdot x+1\cdot x^2=3x^2.)$
Такие же вычисления для функции $ f(x)=x^n$ при целом $ n\geqslant 4$ можно провести, разложив $ (x+h)^n$ по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула
$\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}.$(4.12)

(Проведите это вычисление самостоятельно в качестве упражнения. Другой способ доказательства этой формулы -- представить $ x^n$ в виде $ x^{n-1}\cdot x$ и применить метод математической индукции, воспользовавшись тем, что при $ n=2$ и 3 формула уже доказана.) При $ n=0$ и $ n=1$ формула (4.12) совпадает, соответственно, с формулами (4.5) и (4.6). Ниже мы докажем, что эта формула верна при любом $ n\in\mathbb{R}$, в том числе при дробных и отрицательных значениях $ n$.

На главную